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粵語歌文化歷史研究者,喜歡鑽研文字與音樂的創作,也喜愛數學與棋藝等等。

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2009-05-26 07:45:55

  不少有關趣味數學的書都有記述如下的兩個再現數式:

                122+332=1233

                882+332=8833

 

其實,位數更多的同類例子有的是,比如筆者在十多年前便已算出下述的一批結果:

                102+1002=10100

                9902+1002=990100

                5882+23532=5882353

                94122+23532=94122353

                258402+437762=2584043776

                741602+437762=7416043776

                1167882+3211682=116788321168

                8832122+3211682=883212321168

 

這些數式,搜尋過程也不算太難。以下筆者說說所用的方法,當中只需一點二次代數方程及數論裡平方和問題的解法知識罷了。

 

  上述數式,以代數方式表示,乃是:        x2+y2=10n x+y , n≧2, 10n>x, y    …… (1)

 

經過整理,(1)式變成

 
  
 

由於其中的  (10n) 2-4(y2-y)  必須是平方數,命  k2=(10n) 2-4(y2-y), 整理後有

 

  

 

同理,(10n) 2+1-k2 也必須是平方數,命  j2=(10n) 2+1-k2 ,至此,(1)式轉化為如何把形如 (10n) 2+1 的數表為兩個自然數的平方和的問題。由於 (10n) 2+12  恰好也是兩平方數之和,借用公式

 

                (a2+b2)(c2+d2)=(ac+bd) 2+(ad-bc) 2

 

我們可以很有把握的算出一些(1)的解。試以 n=4 為實例。

此時, (104) 2+1=17×5882353, 其中易知 17=12+42

 

所以,我們有 17 2×5882353=(12+42)(12+100002)

                        Þ5882353=(40001÷17)2+(9996÷17)2=23532+5882

 

由是可得 (104) 2+1=(42+12) (5882+23532)

                                =(4×588+2353) 2+(4×2353-588) 2

                                =47052+88242

 

這裡,只能命 k=8824 ,命 k=4705 則不會有解。當 k=8824,

便算得    y=2353 , x=(10000 ± 8824)÷ 2 = 588, 9412

 

當 n 是別的值的時候,算法跟上述的方法是完全相類的。

 

 

附    n=5,    (105) 2+1=101×3541×27961

        n=6,    (106) 2+1=73×137×99990001

        n=7,    (107) 2+1=29×101×281×121499449

        n=8,    (108) 2+1=353×449×641×1409×69857

        n=9,    (109) 2+1=101×9901×999999000001

        n=10,  (1010) 2+1=73×137×1676321×5964848081

 

 

 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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给主人留下些什么吧!~~

chinaunix网友2009-06-06 18:06:12

大科学家爱恩斯坦在回忆自己如何走上科学的道路,曾谈到几何学上的一则趣题对他的影响,它使人类理智具有充分的信心去取得新的成就……

chinaunix网友2009-06-06 18:06:12

大科学家爱恩斯坦在回忆自己如何走上科学的道路,曾谈到几何学上的一则趣题对他的影响,它使人类理智具有充分的信心去取得新的成就……

chinaunix网友2009-06-06 18:06:12

大科学家爱恩斯坦在回忆自己如何走上科学的道路,曾谈到几何学上的一则趣题对他的影响,它使人类理智具有充分的信心去取得新的成就……

chinaunix网友2009-06-06 18:06:12

大科学家爱恩斯坦在回忆自己如何走上科学的道路,曾谈到几何学上的一则趣题对他的影响,它使人类理智具有充分的信心去取得新的成就……

chinaunix网友2009-06-06 18:06:12

大科学家爱恩斯坦在回忆自己如何走上科学的道路,曾谈到几何学上的一则趣题对他的影响,它使人类理智具有充分的信心去取得新的成就……